___  
БИРЖА ПАТЕНТОВ и иной ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ (ИС) - площадка для продажи ИС с сопровождением и государственной регистрацией сделки
ПУБЛИКАЦИИ  ИНФОРМАЦИЯ
Новости Науки и Техники
Статьи и Публикации
Аналитические Обзоры

МАРКЕТИНГОВЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Энциклопедии
Литературный раздел
Законы, нормативные акты, классификаторы
ТЕНДЕРЫ
ГОСТы РФ (поиск).
Полный перечень ГОСТов.
О проекте SciTecLibrary

Раздел Объявлений

Поиск по Базе Данных Предприятий, Фирм и Организаций, работающих на территории СНГ и стран Балтии.

Критерий поиска:

РАЗРАБОТКИ и ИС ПАТЕНТОВАНИЕ И УСЛУГИ
Заявки на товарные знаки
Идеи и ПроектыПатенты
Изобретения, полезные модели
Технологии
Промышленные Разработки
Производственные Линии
Помощь в патентовании: изобретений, полезных моделей, промышленных образцов, товарных знаков
Исследования, сертификация
Консультации
Расценки на рекламу
 

 

   

Агентство научно-технической информации
Научно-техническая библиотека (Свид. ФС77-20137 от 23.11.2004)
Научно-техническая библиотека

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ФОРУМ

Главная страница    E-mail для контакта
Базы Данных Библиотеки  
Как добавить информацию

Поиск на сайте:


Cтатьи и Публикации
Cтатьи и Публикации    Электрофизика ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

ФРАКТАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

© Александр Лабуть

Контакт с автором: swangull@yandex.ru

ВВЕДЕНИЕ

                На изображениях множества Мандельброта в книгах, журналах и в Сети разными цветами показаны области чисел на комплексной плоскости, с разной скоростью уходящие в бесконечность при итерационных преобразованиях. И лишь само множество черным пятном парит в собственной радужной атмосфере (рис.1). Но так ли оно однородно  и  неизменно?  Возможно,  кто-то  уже  задавался  этим  вопросом.  Если  так,  давайте  поделимся  опытом.

Рисунок 1 

Эта  работа  не  ставит  своей  целью  показать  истину  в  последней  инстанции.  Автор   видит  свою  задачу  в  другом – высказывая  идеи,  возможно  спорные,  подвигнуть  исследователей  на  дальнейшие  изыскания.  И если  кто-нибудь,  оттолкнувшись  от  нее,  пойдет  дальше,  то   цель  достигнута.

Разумеется,  все  приводимые  зависимости  можно  представить  аналитически.  Но  одна  из  целей  работы – наглядное  отображение  свойств  фрактальных  множеств,  что  всегда  воспринимается  легче  и  позволяет  сразу  уловить  общие  закономерности.  А  формулы,   надеюсь,  математики  нам  представят.

Благодарности  Екатерине  Кутовой  и  Сергею  Хашину  -  первым  рецензентам  и  оппонентам.

Итак,  перед  нами,  по  словам  Дж.  Хаббарда,  «один  из  сложнейших  объектов  в  математике.  Заглянем в его недра.

1. ВГЛУБЬ МНОЖЕСТВА МАНДЕЛЬБРОТА.

Чтобы приподнять черную завесу, покрывающую множество, рассмотрим поведение на комплексной плоскости произвольной точки, принадлежащей множеству Мандельброта, при итерациях вида . Запустим из этой точки итерационный процесс и пронаблюдаем за его результатами на каждом шаге. В общем случае на первых шагах повторяемости результатов не будет, и только начиная с какого-то шага мы будем периодически получать близкие  друг  другу   величины. Отображение промежуточных результатов итеративного процесса в виде точек на комплексной плоскости, соединенных между собой отрезками ломаной линии, называется орбитой данной точки (рис.2).

Для  анализа  орбит  введем  некую  малую  величину  ε,  и  будем  считать  точки   неразличимыми,  если  расстояние  между  ними  меньше  указанного  ε.  Такое  допущение  весьма  полезно,  т.к.  позволяет  на  первых  порах  выявить  общие  закономерности,  прячущиеся  при  слишком  точных  расчетах.  В  качестве  ε  в  этой  работе  принято  минимальное  значение  Visual BASIC  Single.  Далее  в  тексте  под  совпадением  точек  будет  иметься  в  виду  именно  сближение  на  расстояние  меньше  ε,  если  иное  не  указано  отдельно.

  Замкнутую часть орбиты будем называть циклом данной точки  (пренебрегая  далее  незначительным  стремящимся  к  0  различием  значений).

Рисунок 2

Введем определения.

Длина цикла - количество шагов итераций, требуемых для возврата к одному и тому же  или  очень  близкому  результату.

Удаленность  цикла - количество шагов итерационного  процесса от старта до  начала  появления  близких  друг  другу  результатов.  Ее  можно  считать характеристикой  скорости  приближения  к  пределу.  Разумеется, обе величины целые положительные. На рис. 2 длина цикла равна 5, удаленность – 3.

                Исходя из этих определений  и  допущений, каждой точке множества Мандельброта  для  заданного  ε  можно поставить в соответствие два  указанных  параметра.

Рассмотрим вначале распределение длин циклов по множеству Мандельброта (рис. 3). Более яркие цвета соответствуют менее длинным циклам, прилегающие области закрашены черным.

Рисунок 3 

Сразу видно, что в целом длины циклов растут с удалением от точки 0+0i. Это правило выполняется и в бесчисленных микрокопиях основной области, «подвешенных» вокруг нее.

Еще более интересные результаты получатся, если обратить внимание на кратность длин циклов натуральным числам (рис.4). Каждая область множества имеет  циклы, длины которых кратны какому-либо одному числу.

Рисунок 4 

На рис. 4 указаны числа, на которые делятся без остатка длины циклов в разных областях множества. Делитель длин циклов один и тот же для маленькой области, «растущей» из центральной, и для прилегающего региона центральной области. Регионы плавно переходят один в другой. Можно также отметить, что все области, «растущие» из данной, имеют ту же кратность, но с добавлением новых делителей, Приблизительная краткая схема распределителей длин циклов показана на рис. 5.

Аналогичная закономерность наблюдается в подмножествах - микрокопиях. Каждому из них присущ свой наименьший делитель длин циклов в центре кардиоиды. Добавление делителей идет по указанной схеме. Например, подмножество, расположенное на действительной оси вокруг точки (-1.75,0), имеет кратность 3, и в нем вдоль действительной оси нарастание длин циклов соответствует ряду 3-6-12-... .

   Рисунок 5

Теперь обратимся к параметру  удаленности циклов,  помня  о  сделанном  ранее  допущении. Удаленность растет все быстрее при переходе от центра каждой области к его границе (рис. 6). Отметим, что удаленность цикла обычно намного превосходит его длину  (необходимо  помнить  о  допущении:  удаленность  на  самом  деле  является  характеристикой  скорости  приближения  результатов  итераций  к  пределу:  чем  меньше  скорость,  тем  она  больше).

Рисунок 6

А какими свойствами обладают пограничные точки? Поскольку в компьютерных расчетах число итераций конечно, возникают зоны неопределенности между множеством и его «атмосферой» (рис. 7, обозначены черным цветом). Какие точки здесь принадлежат множеству, а какие нет? Произведем расчеты для одной и той же области сначала до максимального количества шагов 2000 (рис. 7а), затем - до 5000 (рис 7б). Во втором случае полоса неопределенности резко сузилась, причем в гораздо меньшей степени за счет «атмосферы». Таким образом, здесь, в основном, расположены точки с очень далекими циклами,  т.е. медленно  стремящиеся  к  своему  пределу.

  Рисунок 7

2. ЗРИМЫЕ ОРБИТЫ.

Запустим итеративный процесс   (Zo=0+0i) из какого-нибудь комплексного числа С, принадлежащего множеству Мандельброта, и будем отображать орбиту на комплексной плоскости. В конце орбиты будет видна замкнутая петля цикла.

Произведя эту операцию из разных областей множества, увидим, что каждой из них свойственна определенная форма петли, напрямую связанная с ее длиной (рис. 8).

Рисунок 8

 

Среди  разнообразных  форм  орбит  можно  выделить  два  типа:  а) спиралевидные,  скручивающиеся  к  точке,  и  б) близкие  к  многоугольникам  разных  форм,  имеющие  несколько  (по  числу  вершин  многоугольника)  предельных  точек.  Если  таких  точек  две,  получается  орбита,  изображенная  на  рис. 8  серым  цветом.  Подробнее  о  формах  орбит  и  пределах  итераций    в  следующем  разделе.

Форма  орбиты  с  одной  и  той  же  длиной  цикла  различна  для  разных  областей  множества.  Если длина цикла, например, равна 5, то в областях с положительными значениями действительной части С форма его - выпуклый пятиугольник, а там, где действительная часть С отрицательна - самопересекающийся («звезда»). Причем циклы приграничных точек центральной области имеют «малый» размах, и орбиты скручиваются к ним по ломаным спиралям.

Чем больше длина цикла, тем более разнообразны формы орбит на участке цикла. Так, для длины цикла 7 шагов можно найти области, где их формы - выпуклые многоугольники, два типа самопересекающихся многоугольников, ломаные спирали  (рис. 9).

 

Рисунок 9

Можно орбиту заменить «вектором» - отрезком прямой, соединяющим стартовую точку итераций с точкой входа в цикл. Тогда будут видны закономерности расположения циклических частей орбит относительно стартовых точек  (рис.10).

  Рисунок 10

На рисунке стартовые точки обозначены крестиками, разноцветные линии упираются в начала орбитальных циклов. Видно, что каждой точке соответствует собственная точка входа в свой цикл (от точки к точке векторы плавно меняют угол наклона и длину).


3. ПРЕДЕЛЫ  ОРБИТ,  ПРАВИЛЬНЫЕ  ЦИКЛЫ…

                Как  уже  отмечалось,  форма  орбит  для  точек  внутри  множества  Мандельброта  связана  с  длиной  цикла. Здесь  следует  отметить,  что  длина  цикла  определяется  пределом  итераций.  Некоторые  последовательности  распадаются  на  несколько  подпоследовательностей,  каждая  из  которых  стремится  к  частичному  пределу.  Есть  области,  где  приближение  к  пределам  происходит  достаточно  быстро,  и  предельные  точки  разнесены  достаточно  далеко  друг  от  друга.  Тогда  можно  наблюдать  фигуры  типа  многоугольников  на  рис. 8.    Например,  для  орбиты  типа  треугольника  таких  частичных  пределов  три.  Треугольник  на  рис. 8  получен  итерациями  из  точки  (-0,04, -0.73).  Если  рассмотреть  последовательность  результатов  итераций,  обнаружатся  три  предела,  к  которым  сходятся  три  подпоследовательности:  0-3-6…;  1-4-7…;  2-5-8….  Значения  пределов:

           

Рис. 11  иллюстрирует  скорость  сходимости  данной  итерационной  последовательности,  распадающейся  на  три  подпоследовательности,  к  трем  частичным  пределам  (отдельно  для  действительных  и  мнимых  частей).  Приблизительно  после  двухсот  шагов  различия  становятся  неразличимо  малыми.  Практически  в  расчетах  величину  ε  (см.  раздел  1),  определяющую  неразличимость  точек,  можно  задавать  грубее,  что  не  исказит  общей  картины,  но  резко  сократит  объем  расчетов.

     Рисунок  11.

 

                Другая  закономерность  наблюдается  для  точек  внутри  главной  кардиоиды.  Здесь  характерно  наличие  единственного  предела  для  всей  последовательности.  Примером  может  служить  орбита  точки  (0, -0.50629…),  изображенная  в  нижней  части  рис. 8.  На  рис. 12  -  график  результатов  итераций:  все  последовательности  сходятся  к  одной  точке  (на  графике  отдельно  отображены  действительные  и  мнимые  части  чисел)

        

Но  и  в  этом  случае  можно  наблюдать  разделение  на  несколько  последовательностей.  В  данном  случае  их  три,  что  хорошо  видно  на  графике  (рис. 12).  При  этом  по  виду  (см.  рис.  8)  орбита  представляет  собой  «вращающийся»  и  «сжимающийся»  треугольник.

Исходя  из  вышеизложенного,  можно  уточнить  определение  длины  цикла:  длина  цикла  -  это  количество  подпоследовательностей,  на  которые  распадается  общая  итерационная  последовательность.

    Рисунок  12. 

                Есть  ли  внутри  множества  точки,  для  которых  циклические  части  орбит  представляют  правильные  замкнутые  фигуры?  Иными  словами,  существуют  ли  итерационные  последовательности,  все  подпоследовательности  которых  достигают  своих  пределов?

                Чтобы  ответить  на  этот  вопрос,  запишем  уравнения  для  нескольких  последовательных итерационных  шагов  и  приравняем  последний  результат первому.  Для  получения,  например,  замкнутого  треугольника  результат  первого  и  четвертого  шага  должны  совпасть  (будем  искать  треугольник,  первой  вершиной  которого  является  начальная  точка  итерационного  процесса,  иначе  сложность  уравнений  не  позволит  получить  результат).  На  каждом  шаге  результаты  итераций  определятся  следующими  формулами  (ac,  bc – начальная  точка;  верхняя  из  каждой  пары  формул определяет  действительную  часть,  нижняя – мнимую):

 

Составим  уравнения,  приравняв  4-й  результат  1-му, что  должно  иметь  место  для  треугольной  орбиты:

  

Найдем  корни данной  системы.  Из  всего  множества  корней   условию  удовлетворяет  одна  пара  чисел  ac  и  bc:

 

 

или  приближенно:     

Те же  значения  получим,  если  запишем  более простую  систему,  приравняв  исходную  точку  0, 0  и  формулы  третьего  шага.  Таким   образом,  цикл  начинается  с  первого  же  шага.  Понятно,  что  на  каждом  третьем  шаге  мы  будем  попадать  в  точку  0, 0.   Если  запустить  итерации  из  точек,  близко  расположенных  к  найденной  выше,  получим  последовательности,  быстро  сходящиеся  к  трем  частичным  пределам,  близким  к  вершинам  полученного  правильного  треугольного  цикла.  Наличие  аналогичных  циклов  более  высоких  порядков  (четырехугольного  и  более)  можно  предполагать,  т.к.  ничто  не  препятствует  их  появлению.  Но  точное  доказательство  этого   трудоемко.


4. ЖЮЛИА  И  ДРУГИЕ

С  множеством  Мандельброта тесно связан  другой  фрактальный  объект  -  множество  Жюлиа.  Оно  существует  как  связное  лишь  в  точках  комплексной  плоскости,  принадлежащих  множеству  Мандельброта  (разумеется,  здесь  рассматривается  лишь  итерация  вида  ).

Поскольку  каждое  конкретное  множество  Жюлиа  соответствует  одной  точке  множества  Мандельброта,  длина  цикла  одинакова  для  всех  его  точек  и  совпадает  с длиной  цикла  точки  множества  Мандельброта  (см.  левую часть  рис. 11).  Удаленности  же  циклов  разные,  что  видно  в  правой  части  рисунка  11.

  Рисунок 13.

 

В  настоящее  время  множества  Мандельброта  и  Жюлиа  рассматриваются  как  двумерные  сечения  четырехмерного  объекта,  построенного  на  двух  действительных  и  двух  мнимых  осях:  a1,  a2,  b1,  b2.  При  этом  плоскости  множеств  Мандельброта  (aс bс)  и  Жюлиа  (az bz)  пересекаются  в  четырехмерном  пространстве  в  точке  (таковы  свойства  четырехмерного  пространства!).  Четырехмерность  объекта  «Мандельброта-Жюлиа»  вытекает  из  законов  построения  каждого  из  этих  множеств.  Одно  и  то  же  исходное  уравнение  ),  один  и  тот  же  итерационный  процесс,  одно  и  то  же  условие  проверки  на  принадлежность  множеству  (рассматриваем  заполняющее  множество  Жюлиа).  Но  в  одном  случае  (множество  Мандельброта)  идет  перебор  точек  комплексной  плоскости  по  действительной  и  мнимой  частям  С,  в  другом  (Жюлиа) – по  Z.  Таким  образом,  имеются  именно  четыре  независимые  координаты,  в  пространстве  которых  и  существует  интересующий  нас  объект.

Множество  Мандельброта,  рассмотренное  выше,  лишь  одно  из  многих,  лежащее  в  плоскости  ac bc,  содержащей  точку  az=0,  bz=0.  Нетрудно  построить  аналогичное  множество  для  других  точек  указанного  выше  четырехмерного  объекта  (на  рис. 12  - два «параллельных  сечения»  через  точки  0.4+0.3*I  и  0.5+0.5*I ).

       Рисунок  14.

Кроме  того,  на  четырех  осях  можно  построить  шесть  координатных  плоскостей.  Две  (ac bc  и  az bz)  мы  уже  рассмотрели.  Остались  еще  четыре:  ac az,  bc bz,  ac bz,  az bc.  Естественно  предположить,  что  они  также  содержат  некие  фрактальные  множества  -  сечения   того  же  четырехмерного  объекта.  И  это  действительно  так!  На  рис.  13  изображены  эти  множества  для  точки  (-0.5, 0, -0.5, 0 ).  Закон  их  построения  тот  же:  результаты  итерационных  последовательностей  их  точек  не  стремятся  к  бесконечности.

 

Рисунок 15.

И  наконец,  мы  исследовали  до  сих  пор  лишь  одно  исходное  уравнение:  .  Если  заменить  в  нем  вторую  степень  на  третью,  то  множество  Мандельброта  вместо  одной  оси  симметрии  будет  иметь  две.  В  общем  случае  число  осей  симметрии  на  единицу  меньше  показателя степени  n  уравнения  вида    (см.  рис.  14).

 

Рисунок 16.

5. ВЗГЛЯД  СО  СТОРОНЫ     

                Как  уже  указывалось  ранее,  множества  Мандельброта  и  Жюлиа  можно  представить  в  виде  сечений  четырехмерного  объекта  c осями  ac, bc, az, bz.  Множество  Мандельброта  строится  на  осях  ac, bc,  множество  Жюлиа – на  осях  az,,  bz.  И  было  бы  интересно  посмотреть,  как  он  выглядит.  Четырехмерные  объекты  изобразить  трудно,  зато  правила  отображения  трехмерных  объектов  на  плоскости  разработаны  подробно,  и  можно ими  воспользоваться.  Мы  уже  говорили  о  множествах  Мандельброта  с  ненулевыми  начальными  точками  (раздел 4,  рис. 14).  Но  увидеть  закономерности  изменения  множества  в  целом  и  его  отдельных  элементов  при  изменении  третьей  и  четвертой  координат  можно,  построив  трехмерные  объекты.

                В  четырехмерном  пространстве  ac bc az bz  выделим  ряд  трехмерных  пространств,  каждое  из  которых  разобьем  набором  параллельных  плоскостей.  В  каждой  плоскости  построим  фрактальное  множество,  запуская  итерационные  процессы  для  сетки  точек  плоскости.  Если  плоскость  параллельна  плоскости  ac bc – процесс  аналогичен  построению  множества  Мандельброта,  но  с  ненулевой  начальной  точкой.  В  плоскостях,  параллельных  плоскости  az bz,  строим  множества  Жюлиа.  Четырехмерный  объект  отобразим  четырьмя  трехмерными  пространствами.  Два  из  них  построены  на  базе  множества  Мандельброта,  «развернутого»  в  одном  случае  по  действительной  оси  (ac bc az),  в  другом  случае  -  по  мнимой  (ac bc bz).  Аналогично  -  для  множества  Жюлиа:  az bz ac  и  az bz bc.  В  каждом  случае  влияние  четвертой  координатной  оси  сказывается  в  неявной  форме  через  изменение  начальных  установок  итерационных  процессов  и  проявляется  в  изменении  формы  построенного  объекта. 

                В  следующих  примерах  для  отображения  объема  на  плоскости  использована  стандартная  косоугольная  диметрическая  проекция  с  углами  между  осями  90є-135є  и  коэффициентами  искажения  1 – 1 – 0.5.  Кроме  отображения  объемного  объекта  отрисованы  проекции  его  на  главные  проекционные  плоскости.  Эти  проекции  дают  представление  о  габаритах  трехмерного  объекта  в  целом,  т.к.  образованы  всей  совокупностью  сечений.  Обозначены  оси,  на  которых  построен  объект.,  и  значение  четвертой  координаты.  Знпк  «минус»  перед  наименованием  оси  указывает  на  отрицательное  направление. Буквы  M  или  J  обозначают  проекционные  плоскости,  параллельные  соответственно  плоскости  множества  Мандельброта  ac bc  или  плоскости  множества  Жюлиа  az bz.

 

   Рисунок  17.

 

                На  рис. 17  приведены  несколько  последовательных  сечений  объекта   на  базе  множества  Мандельброта(ac, bc),  сформированного  на  третьей  (действительной)  оси  az  с  координатой  по  4-й  (мнимой)  оси  bz=0.  На  рис.  17г  представлено  классическое  множество  Мандельброта  для   az=0,  bz=0.  Относительно  него  трехмерный  объект  симметричен  (но  только  для  bz=0).  Остальные  сечения  -  это  множества,  образованные  тем  же  процессом  при  ненулевых  стартовых  точках  (см.  раздел  4,  рис.14).

                Можно  рассмотреть  этот  же  объект  и  с  других  сторон  (рис.  18)

 

Рисунок 18.

 

                На  рис. 18 б  показано  сечение  объекта  плоскостью,  параллельной  плоскости  az bc,  и  проходящей  через  область  круга,  примыкающего  к  кардиоиде  множества  Мандельброта  (см.  проекцию  на  плоскость  «М»  -  ac bc). 

                Если  сместиться  по  четвертой координате  bz  из  точки  bz=0,  например,  в  точку  bz=0.5,  получим  новое  изображение  трехмерного  объекта,  который  уже  не  симметричен  относительно  плоскости  az=0 (рис. 19)

 

Рисунок 19.

Рисунок  20.

                На  рис. 19 б  - сечение  плоскостью  az=0.  Это  сечение  не  соответствует  проекции  на  плоскость  ac bc,  как  это  имеет  место  при  bz=0.  В  то   же  время,  проекция  на  на  плоскость  ac bc  такая  же  по  своей  форме,  как  и  само  множество  Мандельброта  при  az=0,  bz=0,  хотя  ни  одно  из  сечений  не  имеет  такой  формы.. 

                Объект,  построенный  на  оси  bz  при  четвертой  координате  az  в  целом  похож  на  представленный  на  рис.  17-19,  но  проекции  его  на  плоскости  ac bz  и  bc bz  отличаются  от  таковых  на  acaz  и  bc az.  Пример  такого  объекта  при  az=0.5  показан  на  рис.  20.

     В  1-м  разделе  упоминались  микрокопии  главного  подмножества  Мандельброта,  на  самом  деле  отличающиеся  от  него  параметрами  принадлежащих  им  точек.  В  трехмерном  отображении  они  также  не  похожи  на  «большой»  объект – они  более  вытянуты  по  третьей  координате  (разумеется,  в  отношении  к  своим  размерам). 

                Трехмерный  объект,  построенный  на  базе  множества   Жюлиа  на  осях  az bz ac   при  bc=0,  показан  на  рис.  21 а,  а  ряд  его  последовательных  сечений  -  на  рис.  21 б-г.  Сечение  на  рис. 21 б,  построенное  для  точки  ac=0,  bc=0,  представляет  собой  правильный  круг. 

 

 Рисунок 21.

 

                Если  сместиться  по  четвертой  координате  в  точку  bc=0.5,  получим  новый  объект  (рис. 22а).  На  рис. 22 б – изображение  его  сечения  с  противоположной  стороны.

 

Рисунок 22

 

Рисунок 23

 

                Можно  построить  трехмерный  объект  и  на  осях  az bz bc.  В  его  основе – множества  Жюлиа,  выстроенные  вдоль  оси  bc  при  четвертой  координате  ac  (рис.  23).

(Для  микрокопий  в  множестве  Мандельброта  соответствующие  трехмерные  построения  множеств  Жюлиа  выглядят  гораздо  более  плоскими,  чем  представленные  на  рисунках  «большие»  объекты.)

 

                На  первый  взгляд,  трехмерные  объекты  на  базе  множеств  Мандельброта  и  Жюлиа  имеют  совершенно  разную  форму.  Но  на  самом  деле  сечения  их  одной  и  той  же  плоскостью  одинаковы.  Для  примера  рассечем  трехмерный  объект  на  базе  множества  Мандельброта  с  третьей  действительной  осью  плоскостью  az bc  (ac=0,  bz=0)  (рис. 24а).  Эта  же  плоскость  существует  и  для  объекта  на  базе  множества  Жюлиа  с  третьей  мнимой  осью  (рис.24 б).  Можно  также  построить  фрактальное  множество  для  этих  же  осей,  как  указывалось  в  разделе 4  (рис.  24 в).

  Как  видно  из  рис.  24,  все  три изображения  идентичны.   Ведь  в  их  основе  лежит  один  и  тот  же  четырехмерный  объект.  Этим  также  объясняется  и  тот  факт,  что  множества  Жюлиа  связны  лишь  для  точек,  принадлежащих  множеству  Мандельброта.  Все  они – двумерные  сечения  единого  объекта,  и  существуют  в  принадлежащих  ему  точках.

 

Рисунок  24.

 

                Трудно  изобразить  четырехмерный  объект  на  плоскости,  но  его  проекции   на  шесть  проекционных  плоскостей    их  именно  столько  для  четырех  измерений) – можно.  На  рис. 25  показано  наложение  проекций  всех  трехмерных  объектов,  построенных  через  постоянное  приращение  значений  каждой  координаты.  На  плоскости  ac bc  видим  знакомую  картинку  множества  Мандельброта.  Это  означает,  что  все  остальные  сечения  всех  трехмерных  объектов  плоскостями,  параллельными  ac bc,  не  выходят  за  его  пределы.  Изображение  рассчитано  по  процессу  итераций  для  множества  Мандельброта.  Рядом – уменьшенное  изображение  этого  же  объекта  на  основе  множества  Жюлиа.  Их  идентичность  еще  раз  указывает  на  и  без  того  очевидный  факт   существования  одного  общего  четырехмерного  объекта   (как  упоминалось  в  разделе  4,  это  вытекает  из  законов  построения  множеств  Мандельброта  и  Жюлиа).

а б

Рисунок  25.

 

                Кстати,  совпадение  проекции  четырехмерного  объекта  с  классическим  множеством  Мандельброта  может  быть  основанием  (или  поводом)  присвоения  его  имени  всему  четырехмерному  объекту.  Второй  вариант  названия  использовался  ранее - четырехмерное  множество  Мандельброта – Жюлиа.

Трехмерные  объекты  для  уравнений  с  показателем  степени  больше  2  имеют  форму,  определяемую  свойствами  множеств  Мандельброта  и  Жюлиа  для  таких  уравнений  (рис.16).  Примеры  таких  объектов  показаны  на  рис. 26.  Объект  на  рис. 26а  построен  на  основе  уравнения  3-й  степени ,  на  рис. 26 б – 4-й  степени.

 

  

   Рисунок  26.                


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     

      В  этой  работе  предпринята  попытка  рассмотреть  известные  фрактальные  множества  на   комплексной  плоскости  с  несколько  иной,  чем  традиционная,  точки  зрения,  взглянуть  на  них  как  на  частные  проявления  общих  закономерностей,  присущих  единому  четырехмерному  объекту.  При  более  детальном  исследовании  должны  выявиться    более  тонкие  связи  между  его  составными  частями.  Например,  области  множеств  с  одинаковыми  свойствами,  описанными  в  разделе  1  (рис. 3-6),  по-видимому,  образуют  внутри  трехмерных  объектов  связные   трехмерные  подмножества.  Должны  быть  прослежены  закономерности  и  причины  их  возникновения.

                Каково  место  бесконечных  микрокопий  основного  подмножества  Мандельброта  (рис. 27)  в  трехмерном  пространстве?  Распространены  ли  циклы  в  виде  правильных  замкнутых  фигур  (раздел 3)  или  они  лишь  редкое  исключение?  В  чем  своеобразие  трехмерных  объектов,  построенных  для  уравнений  более  высоких  степеней  (рис.26),  и  что  общего  у  них  с  рассмотренными  объектами  на  основе  уравнений  второй  степени?  Есть  и  другие  вопросы,  требующие  рассмотрения.  Но  возможно,  кто-нибудь  уже  искал  в  этих  направлениях,  и ответы  уже  есть?

Можно  брать  за  исходные  и  более  сложные  уравнения,  чем  использованные  здесь.  В  результате  получим  бесконечное  семейство  родственных  четырехмерных  объектов,  ждущих  еще  своих  исследователей.

И  самое  главное:   эта  работа  скорее  описательная.  Задача  же  состоит  в  том,  чтобы  объяснить.


P.S. Приведенные  изображения  множеств  Мандельброта  и  Жюлиа, трехмерных  объектов и  их  проекций  получены  с  помощью  разработанных  автором  программ  FrctSet,  Frct3D  и  Frct6P  (рис.  27-30).

Рисунок  27.   Главное  окно  программы   FrctSET.

Рисунок  28    Дополнительные окна  программы    FrctSET.  Отображено  одно  из  подмножеств - микрокопий   главного  подмножества.

Рисунок 29.  Окно  программы  Frct3D.

Рисунок 30.  Окно  программы  Frct6P.

Дата публикации: 8 апреля 2003
Источник: SciTecLibrary.ru

Вы можете оставить свой комментарий по этой статье или прочитать мнения других в следующих разделах ФОРУМА:
Свернуть Защита интеллектуальной собственности и авторских прав
Диспуты по темам изобретательства. Вопросы по изобретениям, проблемы на пути изобретателей и методы их решения.
Патентование. Все о патентовании изобретений, полезных моделей, промышленных образцов и товарных знаков.
Нерешенные задачи. Здесь идет обсуждение нерешенных задач: безопорный двигатель, вечный двигатель, преодоление гравитации и пр.
Свернуть Точные науки и дисциплины
Дебаты по Теории Относительности Эйнштейна. Все кому не лень хотят опровергнуть Теорию Относительности Эйнштейна. Вам предоставляется слово для аргументации.
Физика, астрономия, математические решения. Физико-математические вопросы, наблюдения, исследования, теории и их решение.
Физика альтернативная. Новые взгляды на физические законы, теории, эксперименты, не вписывающиеся в общепринятые законы физики.
Teхника, узлы, механизмы, электроника и аппаратура. Все про технику, приборы, детали, узлы и механизмы. Электроника, компьютеры, программное обеспечение. Новые технические решения в самых разных областях.
Биология, Генетика, Все о жизни. Генетика и другие вопросы биологии. Их развитие. Медицина. Биотехнологии, агротехника и сельское хозяйство. Эволюционные теории и альтернативные им.
Химия. Вопросы по химическим технологиям, разработкам и применению химических материалов. Химические элементы и их свойства.
Геология, все о Земле и ее обитателях. Геология, метеорология, антропология, сейсмология, атмосферные явления и непознанные эффекты природы.
Свернуть Мозговой штурм
Генератор решений. Здесь Вы можете заработать реальные деньги, помогая решать фирмам, предприятиям и частным лицам те или иные технические задачи, которые перед ними стоят. Те, кто ставят задачи перед участниками должны обозначить гонорар за ее решение и перевести указанную сумму на общий счет генератора.
Головоломки. Если у Вас есть желание поломать голову над интересными логическими задачами - Вам сюда.
Гипотезы. В этой теме идет обсуждение гипотез и предположений, основанных чисто на теории и логике.
Найди ляп! Этот раздел для тех, кто хочет мысленно расслабиться. Он посвящен задачам по поискам ляпов, которые встречаются в литературе, интернете, кино и на телевидении.
Свернуть Взгляд в будущее и настоящее
Глобальные темы. Вопросы касающиеся всех. Глобальные угрозы и злободневные темы современности.
Наука и ее развитие. Все о развитии науки, направлениях и перспективах движения научной мысли и знаний.
Новая Цивилизация. Принципы социального устройства новой цивилизации. Увеличение роли созидательного интеллекта... Отдалённые перспективы развития человечества...
Вопросы без ответов. Этот раздел посвящен вопросам и проблемам, которые до сих пор не решены. Предлагайте свои решения.
Военная стратегия и тактика современных боевых действий. Об особенностях современного военного искусства. Проблемные вопросы теории и практики подготовки вооруженных сил к войне, её планирование и ведение в различных конфликтах на планете.
Свернуть Гуманитарные науки и дисциплины
Философские дискуссии. Диспуты по вопросам жизни, сознания, бытия и иных философских понятий.
Экономика. Вопросы по экономике и о путях развития России и других стран.
Социология, Политология, Психология. В этом разделе обсуждаются вопросы, как отдельных частных исследований данных наук, так и проблема соотношения этих наук с остальными.
Образование. Все об образовании: как учить, кому учить, чему учить и кого учить.
Религия и атеизм. Вопросы религий и атеистические взгляды, религиозные споры.

Хотите разместить свою статью или публикацию, чтобы ее читали все?
Как это сделать - узнайте здесь.

Назад

 



Copyright © SciTecLibrary

КАРТА САЙТА

Веб-издателям    Требуются на работу    Интересы инвесторов
    Патентные услуги    Консультационные услуги  Расценки на услуги   Наши деловые партнеры
Как нас найти (контакты)   О проекте SciTecLibrary